Dies soll Jacobis Methode einen Schritt weiter bringen. Wo die bessere Lösung x = (x1, x2, … , xn) ist, wenn x1(k+1) eine bessere Annäherung an den Wert von x1 ist als x1(k), dann wäre es besser, wenn wir das Neue gefunden hätten Wert x1(k+1), um ihn (anstelle des alten Werts x1(k)) beim Finden von x2(k+1), … , xn(k+1) zu verwenden. Also wird x1(k+1) wie in Jacobis Methode gefunden, aber beim Finden von x2(k+1), anstatt den alten Wert von x1(k) und die alten Werte von x3(k),…, xn(k) zu verwenden , verwenden wir dann den neuen Wert x1(k+1) und die alten Werte x3(k), … , xn(k) und ähnlich zum Finden von x3(k+1), … , xn(k+1). Dieser Prozess, um die Lösung der gegebenen linearen Gleichung zu finden, wird als Gauß-Seidel-Verfahren bezeichnet

Das Gauß-Seidel-Verfahren ist eine iterative Technik zum Lösen eines quadratischen Systems aus n (n=3) linearen Gleichungen mit unbekanntem x.
Gegeben

Ax=B

, um das Gleichungssystem x zu finden, das diese Bedingung erfüllt.
Genauer gesagt sind A, x und b in ihren Komponenten:

Dann ist die Zerlegung von A Matrix in ihre untere Dreieckskomponente und ihre obere Dreieckskomponente gegeben durch:

Das System der linearen Gleichungen wird umgeschrieben als:

Das Gauß-Seidel-Verfahren löst nun die linke Seite dieses Ausdrucks nach x auf, wobei der vorherige Wert für x auf der rechten Seite verwendet wird. Formaler kann dies geschrieben werden als:

Durch die Dreiecksform von L* können die Elemente von x(k+1) jedoch sequentiell unter Verwendung von Vorwärtssubstitution berechnet werden:

Dieser Vorgang wird kontinuierlich wiederholt, bis wir die bessere angenäherte Lösung mit dem geringsten Fehler gefunden haben.
Beispiele:

Input :
3
4x+ y+ 2z= 4
3x+ 5y+ 1z= 7
x+ y+ 3z= 3

Output :
[0, 0, 0]
[1.0, 0.8, 0.39999999999999997]
[0.6000000000000001, 0.9599999999999997, 0.48000000000000004]
[0.52, 0.9919999999999998, 0.49600000000000005]
[0.504, 0.9983999999999998, 0.4992000000000001]
[0.5008, 0.99968, 0.49984]
[0.5001599999999999, 0.9999360000000002, 0.4999679999999999]
[0.500032, 0.9999872, 0.4999936]
[0.5000064, 0.9999974400000001, 0.49999871999999995]
[0.50000128, 0.999999488, 0.4999997439999999]
[0.500000256, 0.9999998976000001, 0.49999994880000004]
[0.5000000512, 0.9999999795199999, 0.4999999897600001]
[0.50000001024, 0.999999995904, 0.499999997952]
[0.500000002048, 0.9999999991808, 0.49999999959040003]
[0.5000000004095999, 0.9999999998361601, 0.49999999991808003]
[0.50000000008192, 0.9999999999672321, 0.49999999998361594]
[0.500000000016384, 0.9999999999934465, 0.49999999999672307]
[0.5000000000032768, 0.9999999999986894, 0.4999999999993445]
[0.5000000000006554, 0.9999999999997378, 0.49999999999986894]
[0.500000000000131, 0.9999999999999478, 0.49999999999997374]
[0.5000000000000262, 0.9999999999999897, 0.49999999999999467]
[0.5000000000000052, 0.9999999999999979, 0.49999999999999895]
[0.5000000000000011, 0.9999999999999994, 0.49999999999999983]
[0.5000000000000002, 0.9999999999999998, 0.5000000000000001]
[0.49999999999999994, 1.0, 0.5]
[0.5, 1.0, 0.5]

Angesichts der drei Gleichungen:

4x + y + 2z = 4
3x + 5y + z = 7
x + y + 3z = 3

Zuerst nehmen wir an, dass die Lösung der gegebenen Gleichung ist

(0,0,0)

Dann setzen wir zuerst den Wert von y und z in Gleichung 1 ein und erhalten den Wert von x und aktualisieren den Wert von x als

(x1,0,0)

Setzen Sie nun den aktualisierten Wert von x, also x1 und z=0, in Gleichung 2 ein, um y1 zu erhalten, und aktualisieren Sie dann unsere Lösung als

(x1,y1,0)

Setzen Sie dann endlich x1 und y1 in Gleichung 3 ein, um z1 zu erhalten, und aktualisieren Sie unsere Lösung als

(x1,y1,z1)

Wiederholen Sie nun denselben Vorgang weitere 24 Mal, um die Näherungslösung mit minimalem Fehler zu erhalten.

# Defining our function as seidel which takes 3 arguments
# as A matrix, Solution and B matrix
   
def seidel(a, x ,b):
    #Finding length of a(3)       
    n = len(a)                   
    # for loop for 3 times as to calculate x, y , z
    for j in range(0, n):        
        # temp variable d to store b[j]
        d = b[j]                  
          
        # to calculate respective xi, yi, zi
        for i in range(0, n):     
            if(j != i):
                d-=a[j][i] * x[i]
        # updating the value of our solution        
        x[j] = d / a[j][j]
    # returning our updated solution           
    return x    
   
# int(input())input as number of variable to be solved                
n = 3                              
a = []                            
b = []        
# initial solution depending on n(here n=3)                     
x = [0, 0, 0]                        
a = [[4, 1, 2],[3, 5, 1],[1, 1, 3]]
b = [4,7,3]
print(x)
  
#loop run for m times depending on m the error value
for i in range(0, 25):            
    x = seidel(a, x, b)
    #print each time the updated solution
    print(x)                     

Ein Beispiel für die Matrixversion
Ein als Ax=b dargestelltes lineares System ist gegeben durch:

Wir wollen die Gleichung verwenden

Wo:

Wir müssen A in die Summe einer unteren Dreieckskomponente L* und einer strengen oberen Dreieckskomponente U zerlegen:

Die Umkehrung von L* ist:

Jetzt können wir die verbleibenden Dinge finden:

Jetzt haben wir T und C und wir können sie verwenden, um die Vektoren x iterativ zu erhalten.

Zuerst müssen wir x{0} auswählen, wir können nur raten. Je besser die Schätzung, desto schneller arbeitet der Algorithmus.

Wir nehmen an:

Dann können wir iterativ andere x{i}s berechnen:

Jetzt kennen wir die exakte Lösung, die zu der oben berechneten Antwort passt.

Tatsächlich ist die Matrix A streng diagonal dominant (aber nicht positiv definit).