Wenn heißes Wasser oder Milch auf einem Tisch stehen gelassen wird, kühlt es allmählich ab. Es erreicht schließlich die Temperatur der Umgebung. Das heiße Wasser oder die Milch kann durch Wärmeaustausch mit der Umgebung abkühlen. Dabei hängt die Abkühlung von heißem Wasser von der Temperaturdifferenz zur Umgebung ab. 

In der Grafik ist zu beobachten, dass die Abkühlungsrate zunächst schneller ist und sich dann verlangsamt, wenn die Körpertemperatur sinkt. Ein heißer Körper gibt Wärme in Form von Wärmestrahlung an seine Umgebung ab. Die Wärmeverlustrate hängt von der Temperaturdifferenz zwischen dem Körper und seiner Umgebung ab. 

Eine Kurve, die das Abkühlen von heißem Wasser mit der Zeit zeigt

Newtons Gesetz der Abkühlung

Newton war der erste, der den Zusammenhang zwischen der Wärmeabgabe eines Körpers in einem bestimmten Gehäuse und seiner Temperatur systematisch analysierte.

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz definiert die Geschwindigkeit, mit der ein exponierter Körper die Temperatur durch Strahlung ändert, was ungefähr dem Temperaturunterschied zwischen dem Gegenstand und seiner Umgebung entspricht, vorausgesetzt, der Unterschied ist gering. Beachten Sie jedoch, dass der Unterschied hier sehr gering ist.

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz besagt, dass die Wärmeverlustrate eines Körpers direkt proportional zum Temperaturunterschied zwischen dem Körper und seiner Umgebung ist. 



Mit der Newtonschen Abkühlungsregel können wir bestimmen, wie schnell eine Substanz bei einer bestimmten Temperatur in einer bestimmten Umgebung abkühlt. Darüber hinaus wird erklärt, wie die Abkühlungsgeschwindigkeit eines Objekts nicht nur von der Temperaturdifferenz zwischen dem Material und seiner Umgebung, sondern auch von der Abkühlungskonstante des Materials beeinflusst wird. 

Newtonsches Gesetz der Abkühlungsformel

Sir Isaac Newton, ein renommierter Physiker, entwickelte eine Formel zur Berechnung der Temperatur eines Materials, wenn es Wärme verliert. Außerdem wird die Wärme des Objekts an die Umgebung abgegeben. Wie bereits erwähnt, hängt die Temperaturänderungsrate von der Temperaturdifferenz zwischen dem Gegenstand und seiner Umgebung ab.

Nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz ist die Wärmeverlustrate – dQ/dt des Körpers direkt proportional zur Temperaturdifferenz ΔT = (T 2 – T 1 ) des Körpers und der Umgebung. 

Das Gesetz gilt nur für kleine Temperaturunterschiede. Darüber hinaus wird die Menge der durch Strahlung verlorenen Wärme durch die Zusammensetzung der Körperoberfläche und die Ausdehnung der exponierten Oberfläche bestimmt.

Daher kann der Ausdruck geschrieben werden als

– dQ/dt = k(T 2 – T 1 )                                                                                                                                                                                            ……(1)

Dabei ist k eine positive Konstante in Abhängigkeit von der Fläche und Beschaffenheit der Körperoberfläche.

Ableitung des Newtonschen Abkühlungsgesetzes

Ein Körper der Masse m mit spezifischer Wärmekapazität s habe die Temperatur T 2 und T 1 sei die Temperatur der Umgebung. 



Wenn die Temperatur um einen kleinen Betrag dT 2 in der Zeit dt fällt, dann ist die verlorene Wärmemenge

dQ = ms dT 2

Die Wärmeverlustrate ist gegeben durch

dQ/dt = ms (dT 2 /dt)                                                                                                                                                                               ……..(2)

Vergleichen Sie die Gleichungen (1) und (2) wie folgt:

– ms (dT 2 /dt) = k (T 2 – T 1 )

Stellen Sie die obige Gleichung um als:

dT 2 /(T 2 –T 1 ) = – (k / ms) dt

dT 2 /(T 2 – T 1 ) = – Kdt 

wobei K = k/ms



Integrieren des obigen Ausdrucks als

log e (T 2 – T 1 ) = – K t + c

oder 

T 2 = T 1 + C' e –Kt

woC' = e c

Der obige Ausdruck wird verwendet, um die Abkühlzeit eines Körpers durch einen bestimmten Temperaturbereich zu berechnen.

Die Abkühlungskurve ist ein Diagramm, das die Beziehung zwischen Körpertemperatur und Zeit darstellt. Die Geschwindigkeit des Temperaturabfalls wird durch die Steigung der Tangente an die Kurve an jedem Punkt bestimmt.

Die Kühlkurve

Im Allgemeinen ist T(t) = T A + (T H – T A )e – kt

wobei T(t) die Temperatur zum Zeitpunkt t ist, T A die Umgebungstemperatur oder Umgebungstemperatur ist, T H die Temperatur des heißen Objekts ist, k die positive Konstante ist und t die Zeit ist.

Methoden zur Anwendung des Newtonschen Abkühlungsgesetzes

Es wird eine konstante Abkühlungsrate angenommen, die gleich der Abkühlungsrate bezogen auf die durchschnittliche Temperatur des Körpers während des Intervalls ist, in dem grobe Werte aus dem Newtonschen Gesetz benötigt werden. dh 

dθ\dt = k(<q> – q 0 )                                                                                                                                                                       ……..(3)             

Wenn q i die Anfangstemperatur und q f die Endtemperatur des Körpers ist, dann gilt:

<q> = (q i + q f )/2                                                                                                                                                                                ……….(4)

Die obige Gleichung (4) ist nur eine Annäherung oder grobe Werte und Gleichung (3) wird für exakte Werte des Newtonschen Abkühlungsgesetzes verwendet.

Der unbekannte Parameter k kann unter Verwendung dieser Art von Kühldaten berechnet werden, die überwacht und visualisiert werden können. In einigen Fällen kann der Parameter numerisch berechnet werden.

Ein Beispiel, das Temperatur mit Zeitdiagramm mit Daten zeigt.

Überprüfung des Newtonschen Abkühlungsgesetzes

Überprüfung des Newtonschen Abkühlungsgesetzes.

Mit dem in Abbildung dargestellten Versuchsaufbau kann das Newtonsche Abkühlungsgesetz verifiziert werden. Ein doppelwandiges Gefäß (V) mit Wasser zwischen den beiden Wänden bildet den Aufbau. Im Inneren des doppelwandigen Gefäßes befindet sich ein Kupferkalorimeter (C), das heißes Wasser enthält. 

Zwei Thermometer werden verwendet, um die Temperaturen T 2 des Wassers im Kalorimeter bzw. T 1 des heißen Wassers zwischen den Doppelwänden durch die Korken zu notieren. Nach gleichen Zeitintervallen wird die Temperatur des heißen Wassers im Kalorimeter aufgezeichnet.  

Ein Graph zwischen log e (T 2 –T 1 ) und Zeit (t) erscheint als gerade Linie mit negativer Steigung.

Der Graph zwischen log e (T 2 –T 1 ) und Zeit (t)

Einschränkungen des Newtonschen Abkühlungsgesetzes sind:

  • Der Temperaturunterschied zwischen Körper und Umgebung muss gering sein.
  • Als Wärmeverlust des Körpers sollte nur Strahlung verwendet werden.
  • Die Temperatur der Umgebung muss während der Abkühlung des Körpers konstant bleiben, was eine wichtige Einschränkung des Newtonschen Abkühlungsgesetzes ist.

Anwendungen des Newtonschen Abkühlungsgesetzes sind:

  • Abschätzen, wie lange es dauert, bis ein warmer Gegenstand auf eine bestimmte Temperatur abgekühlt ist.
  • Bestimmung der Temperatur eines Getränks in einem Kühlschrank nach Ablauf einer bestimmten Zeit.
  • Es hilft, den Todeszeitpunkt anzuzeigen, indem man sich die mögliche Körpertemperatur zum Todeszeitpunkt und die aktuelle Körpertemperatur ansieht.

Beispielprobleme

Problem 1: Ein mit heißen Speisen gefüllter Topf kühlt bei einer Raumtemperatur von 20 °C in 2 Minuten von 94 °C auf 86 °C ab. Wie lange dauert es, um von 71 °C auf 69 °C abzukühlen?

Lösung:

Die Durchschnittstemperatur von 94 °C und 86 °C liegt bei 90 °C, also 70 °C über der Raumtemperatur. Unter diesen Bedingungen kühlt die Pfanne in 2 Minuten um 8 °C ab.

Nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz gilt

– dQ/dt = k(T 2 –T 1

Ersetzen Sie den Wert im obigen Ausdruck,

 8 °C /2 min = k(70 °C)                                                                                                                                                                     ………(1)       

Der Durchschnitt von 69 °C und 71 °C beträgt 70 °C, was 50 °C über der Raumtemperatur liegt. der Wert von K ist derselbe.

Ersetzen Sie den Wert im obigen Ausdruck,

2 °C /dt = k(50°C)                                                                                                                                                                           ……(2)        

Gleichung (1) und (2) gleichsetzen,



dt = 0,7 min

oder Zeit gleich 42 s ist.

Aufgabe 2: Was ist das Newtonsche Abkühlungsgesetz?

Lösung:

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz besagt, dass die Wärmeverlustrate eines Körpers direkt proportional zum Temperaturunterschied zwischen dem Körper und seiner Umgebung ist.

Nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz ist die Wärmeverlustrate – dQ/dt des Körpers direkt proportional zur Temperaturdifferenz ΔT = (T 2 –T 1 ) des Körpers und der Umgebung. Das Gesetz gilt nur für kleine Temperaturunterschiede. Darüber hinaus wird die Menge der durch Strahlung verlorenen Wärme durch die Zusammensetzung der Körperoberfläche und die Ausdehnung der exponierten Oberfläche bestimmt.

Daher kann der Ausdruck geschrieben werden als

– dQ/dt = k(T 2 –T 1

Problem 3: Warum heiße Milch leichter aus einer Schüssel zu trinken ist als aus einem Glas.

Lösung:

Die Schale hat eine größere Oberfläche als Glas, daher gibt sie mehr Wärme in Form von Wärmestrahlung durch die Schale an ihre Umgebung ab. Die Abkühlung von heißem Wasser hängt von der Differenz zwischen seiner Temperatur und der Umgebung ab. Die Abkühlgeschwindigkeit ist zunächst schneller und verlangsamt sich dann, wenn die Temperatur sinkt.

Aufgabe 4: Zeichnen Sie den Graphen, der den Übergang von heißem Wasser zu kaltem Wasser darstellt.

Lösung:

Eine Kurve, die das Abkühlen von heißem Wasser mit der Zeit zeigt:

Eine Kurve, die das Abkühlen von heißem Wasser mit der Zeit zeigt

Die Abkühlung von heißem Wasser hängt von der Differenz zwischen seiner Temperatur und der Umgebung ab. In der Grafik ist zu beobachten, dass die Abkühlungsrate zunächst schneller ist und sich dann verlangsamt, wenn die Körpertemperatur sinkt. Ein heißer Körper gibt Wärme in Form von Wärmestrahlung an seine Umgebung ab. Die Wärmeverlustrate hängt von der Temperaturdifferenz zwischen dem Körper und seiner Umgebung ab.

Aufgabe 5: Ein Körper mit einer Temperatur von 40 °C wird in einer Umgebung mit einer konstanten Temperatur von 20 °C gehalten. Es wird beobachtet, dass seine Temperatur in 10 Minuten auf 35ºC fällt. Finden Sie heraus, wie lange es noch dauern wird, bis der Körper eine Temperatur von 30 °C erreicht hat.

Lösung:

Nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz

 q f = q ich e -kt

Jetzt für das Intervall, in dem die Temperatur von 40 ºC auf 35 ºC fällt.

(35 – 20) = (40 – 20) e -(10k)

e -10k = 3/4



-10k = (ln 4/3)

k = 0,2876/10

k = 0,02876

Nun zum nächsten Intervall;

(30 – 20) = (35 – 20)e -kt

10 = 15e -kt

e -kt = 2/3

-kt = ln(2/3)

t = 0,40546/k

Setzen Sie den Wert von k in die obige Gleichung ein,

t = 0,40546/0,02876

t = 14,098 min.

Problem 6: Das Öl wird auf 70 ºC erhitzt. Es kühlt nach 6 Minuten auf 50 ºC ab. Berechnen Sie die Abkühlzeit des Öls von 50 ºC auf 40 ºC bei einer Umgebungstemperatur Ts = 25 ºC

Lösung:

Gegeben,

Die Temperatur des Öls nach 6 min, dh T(t), ist gleich 50 ºC.

Die Umgebungstemperatur T s beträgt 25 ºC.

Die Öltemperatur T o beträgt 70 ºC.

Die Zeit zum Abkühlen auf 50ºC beträgt 6 Minuten.

Nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz gilt

T(t) = T s + (T 0 – T s ) e -kt

(T(t) – T s )/(T o – T s ) = e -kt

-kt = ln[(T(t) – T s )/(T o – T s )] ………(1)        

Ersetzen Sie die obigen Daten in Newtons Gesetz des Abkühlungsausdrucks,

-kt = ln[(50 – 25)/(70 – 25)] 

-k = (ln 0,55556)/6

k = 0,09796

Die Durchschnittstemperatur beträgt 45 ºC 

Ersetze die Werte in Gleichung (1),

-(0,09796) t = ln[(45 – 25)/(70 – 25)]

-0,09796t = ln(0,44444)

0,09796t = 0,81093

t = 0,09796/0,58778 = 8,278 min.

Aufgabe 7: Wasser wird für 10 min auf 80 ºC erhitzt. Wie hoch wäre die Temperatur in Grad Celsius, wenn k = 0,056 pro min und die Umgebungstemperatur 25 ºC beträgt?

Lösung:

Gegeben,

Die Umgebungstemperatur T s beträgt 25 ºC,

Die Wassertemperatur T 0 beträgt 80 ºC.

Die Zeit, in der das Wasser erhitzt wird, beträgt t 10 min.

Der Wert der Konstante k ist 0,056.

Nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz gilt

T(t) = T s + (T 0 – T s ) e -kt

Ersetzen Sie die obigen Daten im obigen Ausdruck,

T(t)= 25 + (80 – 25)e -(0,056×10) 

T(t) = 25+55 e -(0,056×10)

T(t) = 25 + 31,42

T(t) = 56,42

Nach 10 min kühlt die Temperatur von 80 ºC auf 56,42 ºC ab.