Sieb des Eratosthenes
Geben Sie bei einer gegebenen Zahl n alle Primzahlen kleiner oder gleich n aus. Es ist auch gegeben, dass n eine kleine Zahl ist.
Beispiel:
Eingabe: n = 10
Ausgabe: 2 3 5 7Eingabe: n = 20
Ausgabe: 2 3 5 7 11 13 17 19
Das Sieb von Eratosthenes ist eine der effizientesten Methoden, um alle Primzahlen kleiner als n zu finden, wenn n kleiner als etwa 10 Millionen ist (Ref Wiki ).
Wenn der Algorithmus endet, sind alle Zahlen in der Liste, die nicht markiert sind, Primzahlen.
Erklärung mit Beispiel:
Nehmen wir ein Beispiel, wenn n = 50 ist. Wir müssen also alle Primzahlen kleiner oder gleich 50 drucken.
Wir erstellen eine Liste aller Zahlen von 2 bis 50.
Gemäß dem Algorithmus markieren wir alle Zahlen, die durch 2 teilbar und größer oder gleich dem Quadrat davon sind.
Jetzt gehen wir zu unserer nächsten unmarkierten Zahl 3 und markieren alle Zahlen, die Vielfache von 3 sind und größer oder gleich dem Quadrat davon sind.
Wir bewegen uns zu unserer nächsten nicht markierten Zahl 5 und markieren alle Vielfachen von 5 und sind größer oder gleich dem Quadrat davon.
Wir setzen diesen Prozess fort und unsere Abschlusstabelle wird wie folgt aussehen:
Die Primzahlen sind also die unmarkierten: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Danke an Krishan Kumar für die obige Erklärung.
Implementierung:
Es folgt die Implementierung des obigen Algorithmus. In der folgenden Implementierung wird ein boolesches Array arr[] der Größe n verwendet, um Vielfache von Primzahlen zu markieren.
C++
// C++ program to print all primes
// smaller than or equal to
// n using Sieve of Eratosthenes
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void SieveOfEratosthenes(int n)
{
// Create a boolean array
// "prime[0..n]" and initialize
// all entries it as true.
// A value in prime[i] will
// finally be false if i is
// Not a prime, else true.
bool prime[n + 1];
memset(prime, true, sizeof(prime));
for (int p = 2; p * p <= n; p++)
{
// If prime[p] is not changed,
// then it is a prime
if (prime[p] == true)
{
// Update all multiples
// of p greater than or
// equal to the square of it
// numbers which are multiple
// of p and are less than p^2
// are already been marked.
for (int i = p * p; i <= n; i += p)
prime[i] = false;
}
}
// Print all prime numbers
for (int p = 2; p <= n; p++)
if (prime[p])
cout << p << " ";
}
// Driver Code
int main()
{
int n = 30;
cout << "Following are the prime numbers smaller "
<< " than or equal to " << n << endl;
SieveOfEratosthenes(n);
return 0;
}
Java
// Java program to print all
// primes smaller than or equal to
// n using Sieve of Eratosthenes
class SieveOfEratosthenes {
void sieveOfEratosthenes(int n)
{
// Create a boolean array
// "prime[0..n]" and
// initialize all entries
// it as true. A value in
// prime[i] will finally be
// false if i is Not a
// prime, else true.
boolean prime[] = new boolean[n + 1];
for (int i = 0; i <= n; i++)
prime[i] = true;
for (int p = 2; p * p <= n; p++)
{
// If prime[p] is not changed, then it is a
// prime
if (prime[p] == true)
{
// Update all multiples of p
for (int i = p * p; i <= n; i += p)
prime[i] = false;
}
}
// Print all prime numbers
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (prime[i] == true)
System.out.print(i + " ");
}
}
// Driver Code
public static void main(String args[])
{
int n = 30;
System.out.print(
"Following are the prime numbers ");
System.out.println("smaller than or equal to " + n);
SieveOfEratosthenes g = new SieveOfEratosthenes();
g.sieveOfEratosthenes(n);
}
}
// This code has been contributed by Amit Khandelwal.
Python
# Python program to print all # primes smaller than or equal to # n using Sieve of Eratosthenes def SieveOfEratosthenes(n): # Create a boolean array # "prime[0..n]" and initialize # all entries it as true. # A value in prime[i] will # finally be false if i is # Not a prime, else true. prime = [True for i in range(n+1)] p = 2 while (p * p <= n): # If prime[p] is not # changed, then it is a prime if (prime[p] == True): # Update all multiples of p for i in range(p * p, n+1, p): prime[i] = False p += 1 # Print all prime numbers for p in range(2, n+1): if prime[p]: print p, # Driver code if __name__ == '__main__': n = 30 print "Following are the prime numbers smaller", print "than or equal to", n SieveOfEratosthenes(n)
C#
// C# program to print all primes
// smaller than or equal to n
// using Sieve of Eratosthenes
using System;
namespace prime {
public class GFG {
public static void SieveOfEratosthenes(int n)
{
// Create a boolean array
// "prime[0..n]" and
// initialize all entries
// it as true. A value in
// prime[i] will finally be
// false if i is Not a
// prime, else true.
bool[] prime = new bool[n + 1];
for (int i = 0; i < n; i++)
prime[i] = true;
for (int p = 2; p * p <= n; p++)
{
// If prime[p] is not changed,
// then it is a prime
if (prime[p] == true)
{
// Update all multiples of p
for (int i = p * p; i <= n; i += p)
prime[i] = false;
}
}
// Print all prime numbers
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (prime[i] == true)
Console.Write(i + " ");
}
}
// Driver Code
public static void Main()
{
int n = 30;
Console.WriteLine(
"Following are the prime numbers");
Console.WriteLine("smaller than or equal to " + n);
SieveOfEratosthenes(n);
}
}
}
// This code is contributed by Sam007.
PHP
<?php
// php program to print all primes smaller
// than or equal to n using Sieve of
// Eratosthenes
function SieveOfEratosthenes($n)
{
// Create a boolean array "prime[0..n]"
// and initialize all entries it as true.
// A value in prime[i] will finally be
// false if i is Not a prime, else true.
$prime = array_fill(0, $n+1, true);
for ($p = 2; $p*$p <= $n; $p++)
{
// If prime[p] is not changed,
// then it is a prime
if ($prime[$p] == true)
{
// Update all multiples of p
for ($i = $p*$p; $i <= $n; $i += $p)
$prime[$i] = false;
}
}
// Print all prime numbers
for ($p = 2; $p <= $n; $p++)
if ($prime[$p])
echo $p." ";
}
// Driver Code
$n = 30;
echo "Following are the prime numbers "
."smaller than or equal to " .$n."\n" ;
SieveOfEratosthenes($n);
// This code is contributed by mits
?>
Javascript
<script>
// javascript program to print all
// primes smaller than or equal to
// n using Sieve of Eratosthenes
function sieveOfEratosthenes(n)
{
// Create a boolean array
// "prime[0..n]" and
// initialize all entries
// it as true. A value in
// prime[i] will finally be
// false if i is Not a
// prime, else true.
prime = Array.from({length: n+1}, (_, i) => true);
for (p = 2; p * p <= n; p++)
{
// If prime[p] is not changed, then it is a
// prime
if (prime[p] == true)
{
// Update all multiples of p
for (i = p * p; i <= n; i += p)
prime[i] = false;
}
}
// Print all prime numbers
for (i = 2; i <= n; i++)
{
if (prime[i] == true)
document.write(i + " ");
}
}
// Driver Code
var n = 30;
document.write(
"Following are the prime numbers ");
document.write("smaller than or equal to " + n+"<br>");
sieveOfEratosthenes(n);
// This code is contributed by 29AjayKumar
</script>
Es folgen die Primzahlen kleiner oder gleich 30 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
Zeitkomplexität : O(n*log(log(n)))
Sie können auch gerne sehen:
- Wie ist die Zeitkomplexität von Sieve of Eratosthenes ist n*log(log(n))?
- Segmentiertes Sieb .
- Sieb des Eratosthenes in 0(n) Zeitkomplexität
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