Eine Schätzung ist eine Form der Rundung . Die Schätzung wird im täglichen Leben sowie in Themen wie Mathematik und Physik eingesetzt. Viele physikalische Werte, wie z. B. die Geldmenge, die zurückgelegte Strecke, die gemessene Länge usw., werden berechnet, indem die tatsächliche Zahl auf die nächste ganze Zahl gerundet wird. 

Jede Messung hat eine Ungenauigkeit. Präzision und Genauigkeit sind zwei Elemente, die die Messung beeinflussen. Diese beiden Kriterien helfen bei der Identifizierung des Vorhandenseins physikalischer Größen sowie bei deren Vergleich und Messung. Lassen Sie uns Präzision und Genauigkeit wie folgt beschreiben:

  • Genauigkeit: Als Genauigkeit wird die Nähe eines Messwertes zu einem Standardwert bezeichnet . Beispiel: Wenn Sie eine Kiste wiegen und 5 kg notieren, ihr bekanntes Gewicht aber 6 kg beträgt, ist Ihre Messung ungenau.
  • Präzision: Präzision ist definiert als die Nähe zweier oder mehrerer Messwerte zueinander. Wenn Sie die identische Kiste fünfmal wiegen und nahe Werte wie 4,11, 4,2, 4,22, 4,4 und 40 erhalten, sind Ihre Messungen genau.

Präzision und Genauigkeit sind zwei unterschiedliche Konzepte. Sie können sehr genau sein, aber ungenau oder umgekehrt. Bei Einheitsmessungen dreht sich alles um Präzision und Genauigkeit. Das Ergebnis einer Messung sollte exakt sein. Eine physikalische Größe wird mit zwei Ziffern gemessen. Die Ziffern werden in zwei Typen eingeteilt: zuverlässig und unsicher . Jetzt ist es an der Zeit zu verstehen, was die signifikanten Zahlen sind.

Was sind die signifikanten Zahlen?

Die Messungen physischer Rohstoffe sind eine Kombination aus einer Reihe zuverlässiger und nicht zuverlässiger, dh einer unsicheren Anzahl von Stellen. Signifikante Bits der Zahl umfassten die erste unsichere Ziffer und alle zuverlässigen Ziffern. Sie werden auch als signifikante Zahlen bezeichnet . Die Anzahl der Zahlen, die einigermaßen zuverlässig bekannt sind, wird als signifikante Stellen bezeichnet.

Beispielsweise beträgt das Gewicht einer Person 90,46 kg. In diesem Fall umfassen die Ziffern 9, 0 und 4 signifikante Ziffern und 6 ist die nicht signifikante. 

Regeln zur Berücksichtigung signifikanter Zahlen:

  • Nicht-Null-Ziffern sind immer signifikant.
  • Nullen am Ende rechts vom Dezimaltrennzeichen gelten als signifikant.
  • Als Platzhalter geschriebene Nullen haben keine Bedeutung.
  • Nullen zwischen zwei signifikanten Ziffern sind signifikant. Beispielsweise hat 0,00065 zwei signifikante Ziffern.
  • Nullen links von der ersten Ziffer ungleich Null sind nicht signifikant. Beispielsweise hat 0,0000466 drei signifikante Ziffern.
  • Bei nicht dezimalen Zahlen sind die nachgestellten Nullen ohne Bedeutung. Beispielsweise hat 63000 zwei signifikante Ziffern.

Signifikante Zahlen erweisen sich als Indikator für die Messgenauigkeit einer Größe. Sie ist auf die geringste Anzahl von Messgeräten angewiesen. Im Falle der Beibehaltung der Anzahl signifikanter Ziffern während der Umrechnung zwischen Einheiten derselben Ware wird die Menge in der wissenschaftlichen Notation der Form X × 10 Y angegeben , wobei X die Zahl zwischen 1 und 10 ist, die die Anzahl von bezeichnet wichtige Ziffer. 

Abrunden der Ziffern

Das Runden von Ziffern ist ein Phänomen, das zur Schätzung verwendet wird. Die Schätzung bildet einen wichtigen Aspekt für die genaue und präzise Vermessung von Gegenständen und Gebrauchsgegenständen im täglichen Leben. Es reduziert auch die Unsicherheit beim Arbeiten mit Mengen. Es ist notwendig, die Anzahl der unbedeutenden Stellen zu verringern, die zum Einhalten der Regeln der arithmetischen Operationen mit signifikanten Stellen erforderlich sind.

Abrunden bedeutet, eine Zahl zu vereinfachen, indem ihr Wert beibehalten, aber näher an die nächste Zahl verschoben wird. Es wird sowohl für ganze Zahlen als auch für Dezimalzahlen an verschiedenen Stellen wie Hunderter, Zehner, Zehner usw. durchgeführt. 

Zahlen werden gerundet, um wichtige Ziffern beizubehalten. Die Anzahl der wichtigen Zahlen in einem Ergebnis bezieht sich einfach auf die Anzahl der Zahlen, die mit einiger Sicherheit verstanden werden.

Es gibt drei signifikante Zahlen in der Zahl 21.3. Nicht-Null-Ziffern sind immer sinnvoll. Die Zahl 21.3149 hat sechs signifikante Ziffern (alle Zahlen geben Ihnen nützliche Informationen). Folglich hat die Zahl 76 zwei signifikante Stellen, aber die Zahl 76,3 hat drei signifikante Stellen.

Regeln zum Runden der Ziffern

Beim Runden der Ziffern wird eine Standardkonvention befolgt: 

  • Wenn die zu rundende Stelle in der angegebenen Zahl kleiner als 5 ist, wird die vorangehende Stelle unverändert gelassen.

          zB 9,81 wird auf 9,8 abgerundet, da die zu streichende Ziffer kleiner als 5 ist und die vorangehende Ziffer unverändert bleibt.



  • Wenn die zu rundende Stelle in der angegebenen Zahl größer als 5 ist, wird die vorhergehende Stelle modifiziert und um eins erhöht.

          zB  9,88 wird auf 9,9 abgerundet, da die zu streichende Ziffer größer als 5 ist und die vorangehende Ziffer um eins erhöht wird.

  • Wenn die zu löschende Ziffer 5 entspricht und weitere Ziffern ungleich Null folgen, wird die vorangehende Ziffer der angegebenen Zahl um eins erhöht.

          zB  muss die Zahl 9,755 unter Berücksichtigung der Zehnerstellen gerundet werden, dann wird sie auf 9,8 gerundet, da ihr weitere Ziffern folgen, die nicht Null sind. 

  • Entspricht die zu streichende Ziffer einer 5 oder folgen auf 5 weitere Nullziffern, so bleibt die vorangehende Ziffer der angegebenen Zahl unverändert, falls sie gerade ist.

          zB  muss die Zahl 9,850 unter Berücksichtigung der Zehnerstellen gerundet werden, dann wird auf 9,8 gerundet, da weitere Nullen folgen.

  • Entspricht die zu streichende Ziffer einer 5 oder folgen auf 5 weitere Nullziffern, so wird die vorangehende Ziffer der angegebenen Zahl um eins erhöht, falls sie ungerade ist.

          zB  muss die Zahl 9,750 unter Berücksichtigung der Zehnerstellen gerundet werden, dann wird sie auf 9,8 gerundet, da ihr weitere Nullen folgen.

Die erste nicht signifikante Ziffer befindet sich an der (n+1)-ten Position von ganz links. 

Regeln zur Beseitigung von Mehrdeutigkeiten bei der Bestimmung der Anzahl signifikanter Stellen

Einige der wichtigen Regeln zur Beseitigung von Mehrdeutigkeiten bei der Bestimmung der Anzahl signifikanter Zahlen sind:

  • Die Änderung der Einheiten sollte keinen Einfluss auf die Anzahl signifikanter Stellen der Zahl haben.

          zB  5,900 m = 590,0 cm = 5900 mm. Die ersten beiden Zahlen sind 4 signifikante Ziffern, und die letzte hat jeweils 2 Ziffern. 

  • Die wissenschaftliche Notation kann verwendet werden, um Messungen von Zahlen zu melden.
  • Die Multiplikation oder Division von exakten Zahlen kann unendlich viele signifikante Stellen haben.

Rundungsregeln für ganze Zahlen

  • Es wird ein kleinerer Stellenwert für die angegebene ganze Zahl gewählt.
  • Verwenden Sie die nächstkleinere Stelle rechts neben der Zahl, auf die gerundet wird. Beim Runden von Ziffern ab der Zehnerstelle wird nach einer Ziffer an der Einerstelle gesucht.
  • Suchen Sie nach der Magnitude der Ziffer. Wenn die kleinste Stelle kleiner als 5 ist, bleibt die Ziffer unberührt. Jede Anzahl von Ziffern nach dieser Zahl wird zu Null, was als Abrunden der Ziffer bezeichnet wird. Ist die kleinste Stelle jedoch größer oder gleich 5, dann wird die Ziffer mit +1 ergänzt. Alle Ziffern nach dieser Zahl werden zu Null und werden als Aufrundung der Ziffer bezeichnet.

Rundungsregeln für Dezimalzahlen

  • Bestimmen Sie die Rundungsziffern und werten Sie die rechte Seite aus.
  • Wenn die Ziffern auf der rechten Seite kleiner als 5 sind, werden sie als gleich Null betrachtet. Wenn größer oder gleich 5, dann addiere +1 zu dieser Ziffer und betrachte alle anderen Ziffern als Null.

In vielen Situationen ist es einfacher, kostengünstiger und zeitsparender, eine Schätzung zu erhalten, als eine tatsächliche Zählung durchzuführen. Wenn das Szenario keine genaue Zählung erfordert, reicht eine Schätzung aus. Sehen wir uns einige Schätztechniken an.

  1. Runden auf die nächste Zehnerstelle: Betrachten Sie die folgenden drei Zahlen: 24, 25 und 26. Diese Zahlen müssen auf die nächste Zehnerstelle gerundet werden. Erwägen Sie, diese Zahlen auf eine Skala zu setzen. Ist 24 näher an zwanzig oder an dreißig? Es liegt näher bei zwanzig, also runden wir es auf zwanzig auf. Ähnlich ist 26 in der Nähe von 30, also können wir es auf 30 aufrunden. 25 ist der gleiche Abstand wie 20 und 30. Es ist üblich, aufzurunden, daher wird 25 auch auf 30 aufgerundet. Schließlich werden Zahlen, die mit 1, 2, 3 und 4 enden, abgerundet, aber Zahlen, die mit 5, 6, 7, 8 und 9 enden, werden auf die nächste Zehnerstelle aufgerundet.
  2. Runden auf Hunderter: Hier gilt die gleiche Idee. Wir schauen uns den Zahlenstrahl an, um festzustellen, ob er näher an der unteren oder der oberen Hunderter liegt. Anhand von Beispielen werden wir ein tieferes Verständnis haben. Vervollständigen Sie die Zahlen 527 und 582. 527 ist in diesem Fall eindeutig näher an 500, also runden wir es auf 500 auf. Und 582 wird auf die nächsten Hunderter aufgerundet, was 600 ergibt. Eine Sache, die Sie beachten sollten, ist, dass 450, was ungefähr zwischen 400 und 500 liegt, wird normalerweise auf 500 aufgerundet. Als Beispiel runden Sie 43 auf die nächsten Hunderter auf. Da 43 näher an 0 als an 100 liegt, runden wir auf 0 auf.
  3. Runden auf Tausender: Alle Werte zwischen 0 und 499, die auf dem Zahlenstrahl näher an 0 liegen, werden auf 0 gerundet. Zahlen zwischen 500 und 999 werden auf 1000 gerundet. Und die gleiche Idee gilt für alle größeren ganzen Zahlen. Zahlen, die näher am unteren Tausender liegen, werden abgerundet, während Zahlen über 500 aufgerundet werden.

Beispielprobleme

Aufgabe 1: Erklären Sie die Anzahl signifikanter Stellen in 0,000650.

Lösung: 

Da die führenden Nullen für die signifikanten Stellen nicht erforderlich sind. 

Daher gibt es drei signifikante Ziffern 650. 

Aufgabe 2: Runden Sie diese Zahlen auf jeweils drei signifikante Stellen: (a) 9,845 und (b) 6,735.

Lösung: 

(a) Die zu rundende Zahl entspricht 5, also sind im ersten Fall die vorangehenden Ziffern gerade, bleiben also unverändert. Daher die erhaltene Zahl 9,84.

(b) Die zu rundende Zahl entspricht 5, also sind im ersten Fall die vorangehenden Ziffern ungerade, werden also um eins erhöht. Daher die erhaltene Zahl 9,83.

Problem 3: Ändert die Änderung der Einheiten signifikante Stellen?

Lösung: 

Durch die Änderung der Einheiten werden die signifikanten Stellen nicht geändert. Zum Beispiel in Bezug auf die Länge, 12 m = 1,2 × 10 m = 1,2 × 10 3 cm, wobei die signifikanten Ziffern 1 entsprechen. 

Aufgabe 4: Schreiben Sie die Anzahl signifikanter Stellen in 0,410 m.

Lösung:

Nullen links von einer signifikanten Zahl, die links nicht durch eine andere signifikante Zahl begrenzt sind, sind nach dem allgemeinen Kriterium zur Definition signifikanter Zahlen nicht signifikant. Signifikant sind Nullen hinter anderen Zahlen, aber vor einem Dezimalpunkt. Daher sind für den bereitgestellten Wert 0,410 die letzten drei Ziffern signifikante Zahlen. Als Ergebnis hat es drei wichtige Figuren.

Aufgabe 5: Was bedeuten die Zahlen 4,845 und 4,835 beim Runden auf 3 signifikante Stellen?

Lösung:

Da die vorherige Ziffer gerade ist, ergibt die Zahl 4,845 auf drei signifikante Ziffern gerundet 4,84. Die auf drei signifikante Stellen gerundete Zahl 4,835 wird dagegen zu 4,84, da die vorherige Ziffer ungerade ist.