Bewegung in einer Ebene wird auch als zweidimensionale Bewegung bezeichnet. Zum Beispiel Kreisbewegung, Projektilbewegung und so weiter. Der Bezugspunkt für eine solche Bewegungsanalyse ist ein Ursprung und die beiden Koordinatenachsen X und Y. In diesem Abschnitt werden wir die Projektilbewegung besprechen . 

Die Bewegung eines in die Luft geworfenen oder geschleuderten Objekts, das nur der Erdbeschleunigung unterliegt, wird als Projektilbewegung bezeichnet. Das Objekt wird als Projektil bezeichnet, und sein Weg wird als Flugbahn bezeichnet . Die Bewegung fallender Objekte, wie in Problemlösungsgrundlagen für eindimensionale Kinematik beschrieben, ist eine einfache eindimensionale Art der Projektilbewegung ohne horizontale Bewegung. In diesem Abschnitt betrachten wir die zweidimensionale Projektilbewegung, wie die eines Fußballs oder eines anderen Objekts mit vernachlässigbarem Luftwiderstand.

Dabei ist vor allem zu beachten, dass Bewegungen entlang senkrechter Achsen unabhängig voneinander sind und somit separat analysiert werden können. Dies wurde in Kinematics in Two Dimensions: An Introduction diskutiert, wo gezeigt wurde, dass vertikale und horizontale Bewegungen unabhängig voneinander sind. Der Schlüssel zum Verständnis der zweidimensionalen Projektilbewegung besteht darin, sie in zwei Bewegungen zu unterteilen, eine horizontale und eine vertikale. (Dies ist die logischste Wahl der Achsen, da die Beschleunigung der Schwerkraft vertikal ist, sodass es keine Beschleunigung entlang der horizontalen Achse gibt, wenn der Luftwiderstand vernachlässigbar ist.)

Um Bewegung zu beschreiben, müssen wir natürlich Geschwindigkeit, Beschleunigung und Verschiebung berücksichtigen. Wir müssen auch ihre Komponenten entlang der x– und y–Achsen lokalisieren. Wir gehen davon aus, dass alle Kräfte außer der Schwerkraft (wie Luftwiderstand und Reibung) vernachlässigbar sind. Die Komponenten der Beschleunigung sind dann sehr einfach:

• a _y = –9,80 m/s ² . (Bitte beachten Sie, dass diese Definition davon ausgeht, dass die Aufwärtsrichtung als positive Richtung definiert ist, wenn das Koordinatensystem so angeordnet ist, dass die Abwärtsrichtung positiv ist, ist die Erdbeschleunigung positiv.) 
• a _x = 0, weil die Schwerkraft vertikal ist. 

Da die Beschleunigungen konstant sind, können die kinematischen Gleichungen angewendet werden.

Projektilbewegung

Ein Projektil ist ein Objekt, das in den Weltraum geschleudert wird und auf das nur die Schwerkraft wirkt. Die primäre Kraft, die auf ein Projektil wirkt, ist die Schwerkraft. Das soll nicht heißen, dass keine anderen Kräfte darauf einwirken; vielmehr ist ihr Einfluss im Vergleich zur Schwerkraft minimal. Eine Flugbahn ist ein Weg, den ein Projektil nimmt.

Wenn ein Teilchen schräg in die Nähe der Erdoberfläche geschleudert wird, folgt es einer gekrümmten Bahn mit konstanter Beschleunigung zum Erdmittelpunkt (wir nehmen an, dass das Teilchen nahe der Erdoberfläche bleibt). Der Weg eines solchen Teilchens ist als Projektilweg bekannt , und seine Bewegung ist als Projektilbewegung bekannt .

Projektilbewegung ist eine der häufigsten Bewegungsarten in einer Ebene. Die einzige Beschleunigung, die bei einer Projektilbewegung wirkt, ist die durch die Schwerkraft verursachte vertikale Beschleunigung (g). Dadurch können Bewegungsgleichungen getrennt in der X- und Y-Achse zur Bestimmung der unbekannten Parameter verwendet werden.

• Die Bewegung eines Projektils in zwei Dimensionen wird in zwei Teile unterteilt:

1. Horizontale Bewegung in x-Richtung ohne Beschleunigung und
2. Vertikale Bewegung in y-Richtung mit konstanter Erdbeschleunigung.

• Die Gleichung für die Projektilbewegung lautet y = ax + bx ² .
• Um die Berechnungen zu vereinfachen, wird die Projektilbewegung typischerweise ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands berechnet .

Bevor wir die Ableitung der Beziehung für die Projektilbewegung verstehen, wollen wir zunächst einige darin verwendete Begriffe einführen, nämlich: 

• Projektionswinkel: Der Winkel, in dem der Körper in Bezug auf die Horizontale projiziert wird, wird als Projektionswinkel bezeichnet.
• Projektionsgeschwindigkeit: Die Geschwindigkeit, mit der der Körper geschleudert wird, wird als Projektionsgeschwindigkeit bezeichnet.
• Projektionspunkt: Ein Projektionspunkt ist der Punkt, von dem aus der Körper in die Luft projiziert wird.
• Flugbahn des Projektils: Der Weg, den ein Projektil in der Luft nimmt, wird als Flugbahn des Projektils bezeichnet.
• Horizontale Reichweite: Die horizontale Entfernung, die von dem Körper zurückgelegt wird, der eine Projektilbewegung durchführt, wird als Reichweite des Projektils bezeichnet.

Betrachten Sie das folgende Beispiel einer Kugel, die in einem Winkel θ vom Punkt O in Bezug auf die horizontale x-Achse mit einer Anfangsgeschwindigkeit u projiziert wird:

Hier,

• Der Punkt O ist als Projektionspunkt bekannt.
• θ ist der Projektionswinkel und
• OB = Horizontaler Bereich.
• H ist die Höhe des Teilchens.
• Die Gesamtzeit, die das Teilchen benötigt, um von O nach B zu reisen, wird als Flugzeit bezeichnet.

Wir können Differentialgleichungen der Bewegung verwenden, um verschiedene Parameter zu finden, die sich auf die Projektilbewegung beziehen.

Wir wissen, dass die lineare Bewegungsgleichung lautet:

                         v = u + bei

                       S = ut + 1/2(bei ² )

^v2 =                        u2 + ^2aS

                       

 Wendet man die obige Gleichung für die Projektilbewegung an, lautet die Gleichung:

             

                       v = u – gt

                       S = ut – 1/2(gt ² )

^v2 =                        u2 – ^2gS

   Wo,

         

          u = Anfangsgeschwindigkeit

          v = Endgeschwindigkeit

          g = Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft (Nehmen Sie es -ve, weil die Schwerkraft immer nach unten wirkt)

          S = Verschiebung

          t = Zeit                                                           

Gesamtflugzeit:

In Y-Richtung Gesamtverschiebung (S _y ) = 0.

also Bewegung in Y-Richtung, S _y  = u _y t – 1/2(gt ² ) [Hier ist u _y = u sinθ und S _y = 0]

                                            dh 0 = usinθ – 1/2(gt ² )

                                                      t = 2usinθ/g

Gesamtflugzeit (t) = 2usinθ/g

Fall 1:  wenn θ = 90°  

Wie wir aus der Flugzeitformel ersehen können, ist die vom Projektil benötigte Zeit direkt proportional zum Projektionswinkel. Für jede gegebene Anfangsgeschwindigkeit ist (u) konstant und g ist immer konstant, dh g=-9,8 m/s2.

Wenn das Projektil in einem Winkel von 90° projiziert wird, ist die Flugzeit maximal.

Also t _max = 2usinθ/g = 2u/g [ sin 90° = 1]

Fall 2:  wenn θ = 30°  

Wenn das Projektil in einem Winkel von 30° geschleudert wird, beträgt die Flugzeit die Hälfte von t _max .

dh t = 2usin30°/g = t _max /2. [ sin30° = 1/2 ]  

Horizontaler Bereich:

Die horizontale Reichweite ist eine Entfernung (OB), die angegeben werden kann als:

                                          OB = Horizontale Komponente der Geschwindigkeit (u _x ) * Gesamtzeit (t) [Hier ist u _x = u cosθ und t = 2usinθ/g]

                                   dh Range(R) = ucosθ * 2usinθ/g              

Als Ergebnis ist die horizontale Reichweite des Projektils gegeben durch (R):

Horizontaler Bereich (R) = u ² sin2θ/g                    [hier, sin2θ = 2cosθsinθ]

Fall 1:  wenn θ = 90°  

Wenn das Projektil in einem Winkel von 90° projiziert wird, ist die horizontale Reichweite Null, da das Projektil am selben Punkt auftrifft, an dem das Projektil projiziert wird. 

dh R = u ² sin2θ/g = 0. [ sin 2θ = 0, bei θ = 90 ]

Fall 2: wenn θ = 45°

Wenn das Projektil in einem Winkel von 45° horizontal projiziert wird Die Reichweite des Projektils ist maximal.

dh R = u ² sin2θ/g = u ² /g. [ Hier sin90 = 1 ]

Maximale Höhe:

Es ist der höchste Punkt des Teilchens (Punkt A). Wenn der Ball den Punkt A erreicht, ist die vertikale Komponente der Geschwindigkeit (V _y ) null. 

                                          dh 0 = (usinθ) ²  – 2gH _max                             [ Hier ist S = H _max , v _y = 0 und u _y = u sin θ ]

Daher ist die maximale Höhe des Projektils gegeben durch (H _max ):

Maximale Höhe (H _max ) = u ² sin ² θ/2g

Fall 1: wenn θ = 90°

Wenn wir ein Projektil in einem Winkel von 90° projizieren, erreicht es seine maximale Höhe (H _max ).

dh H _max  = u ² sin ² θ/2g = u ² /2g. [Hier sin ² 90 = 1 ]

Fall 2: wenn θ = 45°

Wenn das Projektil in einem Winkel von 45° projiziert wird, beträgt die Höhe des Projektils die Hälfte seiner maximalen Höhe (Hmax).

dh H = u ² sin ² θ/2g = (1/2)u ² /2g = Hmax/2. [ Sünde ² 45° = 1/2 ]

Wir können auch sagen, dass bei einem Projektilwinkel von 45 ° die horizontale Reichweite des Projektils das 4-fache der Projektilhöhe beträgt.

dh H = u ² /4g = R/4 [hier, horizontaler Bereich bei θ = 45°, R = u ² /g ]

oder R = 4H.

Die Bahngleichung:

Die Bahngleichung ist ein Weg, dem das Teilchen während der Projektilbewegung folgt. Die Gleichung lautet:

y = x tanθ – gx ² /2u ² cos ² θ

Dies ist die Gleichung der Projektilbewegung, sie ähnelt der Parabel (y = ax + bx ² ), sodass wir sagen können, dass die Projektilbewegung immer parabolischer Natur ist.

Beispiele für zweidimensionale Bewegung sind wie folgt:

• Einen Ball werfen oder eine Kanonenkugel abfeuern
• Die Bewegung einer Billardkugel auf einem Billardtisch.
• Die Bewegung einer abgefeuerten Granate.
• Die Rotation der Erde um die Sonne.
• Wenn ein Ball aus einem fahrenden Auto geworfen wird, ist der Weg, den der Ball zurücklegt, eine Projektilbewegung.
• Ein Feldspieler wirft den Ball in einem Cricket-Match in Richtung der Wickets.
• Eine Kugel wird auf ein Fernziel abgefeuert.

Einige Anwendungen der Projektilbewegung:

• Eine Rakete oder ein Flugkörper ist eine komplexere Art der Projektilanwendung im modernen Leben.
• Projektile werden häufig von Sportlern verwendet, insbesondere unter anderem beim Speerwurf, Kugelstoßen, Diskus- und Hammerwurf.
• Auch beim Bogenschießen und Schießen kommen Projektile zum Einsatz.

Beispielprobleme

Aufgabe 1: Was ist Projektil? Beweisen Sie, dass die Bahn eines Geschosses parabelförmig ist.

Lösung:

Projektil : Ein Projektil ist ein Objekt, das in den Weltraum geschleudert wird und auf das nur die Schwerkraft wirkt.

Wir wissen, dass die Projektilgleichung y = x tan θ – gx ² /2u ² cos ² θ lautet, indem wir die Gleichung mit y = ax + bx ^{2  vergleichen}

Hier ist a = tanθ und b = – g/2u ² cos ² θ. 

Die obige Bahngleichung ähnelt einer Parabel. Damit ist bewiesen, dass die Bahn eines Geschosses parabelförmig ist.

Aufgabe 2: In welchem ​​Winkel soll das Projektil geschleudert werden, damit Höhe und Reichweite des Projektils gleich sind?

Lösung:

Wenn Höhe und horizontaler Bereich gleich sind, ist H = R.

dh  

u ² sin ² θ/2g = u ² sin2θ/g   

oder

sin ² θ = sin2θ [hier sin2θ = 2 sinθ cosθ und tanθ = sinθ/cosθ]

tanθ = 4                   

So,            

θ = tan- ¹ (4)

Aufgabe 3: Definieren Sie die horizontale Reichweite und finden Sie die Reichweite eines Projektils, das mit 98 m/s und einem Winkel von 30 Grad von der Horizontalen geworfen wird? (g = 9,8 m/s ² )

Lösung: 

Horizontale Reichweite – Die horizontale Entfernung, die von dem Körper zurückgelegt wird, der eine Projektilbewegung ausführt, wird als Reichweite des Projektils bezeichnet.

Horizontaler Bereich, R = u ² sin2θ/g 

                                = (98) ² × (60°) / 9,8 

                                = 490√3m

Aufgabe 4: Nennen Sie die physikalischen Größen, die während der Projektilbewegung unverändert bleiben?

Lösung: 

Geschwindigkeit, vertikale Komponente des Geschwindigkeitsimpulses, kinetische Energie und potentielle Energie bleiben während der Projektilbewegung unverändert.

Aufgabe 5: Welche maximale Höhe erreicht eine Kugel der Masse 100 g, die unter einem Winkel von 30° vom Boden mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 11 m/s und einer Erdbeschleunigung von g = 10 m/s ² geschleudert wird ?

Lösung:

Wir wissen, dass die Formel für die maximale Höhe lautet:

H = (unter Verwendung von θ) ² /2g.

Gegeben,  

u = 11 m/s, θ = 30°, g = 10 m/s ²

Somit,  

Setzen wir die Werte, die wir bekommen,

H = 1,5125 m 

Aufgabe 6: Ein Fußball wird in einem Winkel von 45° vom Boden mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 10 m/s gestartet; die Erdbeschleunigung ist g = 10 m/s ² . Was ist die Flugzeit?

Lösung:

Wir wissen, dass die Formel zur Berechnung der Flugzeit lautet: 

t = 2(usinθ/g)

Gegeben sei θ = 45°, u = 10m/s, g = 10m/s ²

Setzen wir die Werte, die wir bekommen,

t = 1,4142 s

Aufgabe 7: Ein Projektil wird vom Punkt O unter einem Winkel von 30° mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 30 m/s abgeschossen. Das Projektil trifft am Punkt M auf den Boden. (Betrachte die Erdbeschleunigung g = 10m/s ² ) Finden Sie Folgendes:

1. Was ist die Gesamtflugzeit?
2. Was ist die horizontale Reichweite des Projektils (OM)?
3. Was ist die maximale Höhe des Projektils?

Lösung:

Gegeben,

Anfangsgeschwindigkeit u = 30m/s.

Der Projektionswinkel, θ = 30°.

 1. Gesamtflugzeit

Wir wissen, dass die Gesamtflugzeit des Projektils gegeben ist durch

 t = 2usinθ/g

Setzt man die gegebenen Werte ein,   

t = 2 × 30 sin30°/10 

  = 3 Sek

 2. Horizontaler Bereich

Wir kennen die Formel für die horizontale Reichweite:  

R = u ² sin2θ/g.

Setzen wir die Werte, die wir bekommen,     

R = (30) ² sin60° /10

   = 45 √3 m.

3. Maximale Höhe

Die maximale Höhe des Projektils ergibt sich aus der Formel:   

H _max = u ² sin ² θ/2g

Setzen wir die Werte, die wir bekommen,    

H _max = (30) ² sin ² 30°/2 × 10

        = 11,25 m.